kimi

为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两个情况。

### 当 \( x \) 趋近于 0 时

当 \( x \) 趋近于 0 时，我们有：

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \ln(1) = 0 \)，我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)，然后应用对数的性质：

\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]

当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷，因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \)，所以：

\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶，所以：

\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]

### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

当 \( x \) 趋近于正无穷时，我们有：

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ，我们可以利用对数的泰勒展开：

\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]

其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \)，当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此：

\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]

\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量，当 \( x \) 趋近于正无穷时，这一项将趋近于 0 。因此：

\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]

综上所述，函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ，在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。