Lower Integral

Definition / 释义

下积分：在微积分与实分析中，指用“下和”（下达布和，lower Darboux sums）对函数在区间上的积分进行从下方逼近所得到的量；常用于定义（黎曼）可积性：当下积分与上积分相等时，该函数在该区间上（黎曼）可积。该术语在不同教材中也可能与“下达布积分（lower Darboux integral）”同义或近义。

Pronunciation (IPA) / 发音（IPA）

/ˈloʊər ˈɪntɪɡrəl/

Etymology / 词源

lower 表示“较低的、下方的”，源自古英语 lǣwra（更低的）；integral 在数学语境中与“积分/整体”相关，来自拉丁语 integer（完整的、整体的）。合起来强调“从下方（lower）用积分概念（integral）进行逼近/刻画”的意义。

Examples / 例句

For a bounded function on ([a,b]), the lower integral is the supremum of all lower sums.
对于定义在 ([a,b]) 上的有界函数，下积分是所有下和的上确界。

If the lower integral equals the upper integral, then the function is Riemann integrable on the interval, and their common value is the integral.
如果下积分等于上积分，那么该函数在该区间上是黎曼可积的，它们的共同值就是该积分。

Related Words / 相关词

• Lower Sum
• Upper Integral
• Upper Sum
• Darboux Integral
• Riemann Integral
• Integrable
• Supremum
• Partition

Literary Works / 文献与著作中的用例

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在讨论黎曼积分与可积性判别时涉及上、下和与相应的上/下积分思想。
• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）——在严格化黎曼积分定义的章节中常用上、下和（达布思想）引出可积性。
• Real Analysis（H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick）——在实分析入门部分对积分概念的构造与比较中会出现与下积分相关的表述与工具。