Darboux Integral

定义 Definition

Darboux integral（达布积分）是一种与黎曼积分等价的积分定义方式：把区间按分割（partition）切成若干小段，在每一小段上分别取函数值的上确界与下确界来构造上达布和与下达布和。当上达布积分与下达布积分相等时，就称函数在该区间上（达布/黎曼）可积，这个共同的值就是 Darboux integral。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdɑːrbuː ˈɪntɪɡrəl/

例句 Examples

The Darboux integral agrees with the Riemann integral for bounded functions on a closed interval.
对闭区间上的有界函数而言，达布积分与黎曼积分的结果一致。

If the upper and lower Darboux sums can be made arbitrarily close by refining the partition, then the function is Darboux integrable on [a, b].
如果通过加细分割可以让上、下达布和任意接近，那么该函数在区间 [a, b] 上就是达布可积的。

词源 Etymology

Darboux来自法国数学家 Gaston Darboux（加斯东·达布）的姓氏。达布积分以他命名，强调用每个小区间上的上确界/下确界来定义积分（通过上、下和的“夹逼”来刻画可积性）。Integral源自拉丁语 integer（“完整的”），引申为“整体/累积”的量。

相关词 Related Words

• Riemann Integral
• Darboux Sum
• Upper Sum
• Lower Sum
• Partition
• Supremum
• Infimum
• Integrable
• Bounded Function

文学与著作 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在黎曼积分章节中讨论达布和（upper/lower sums）与可积性等价刻画。
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）——在实分析基础内容中提及与黎曼积分相关的达布观点与上/下和思想。
• Introduction to Real Analysis（Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert）——用上和、下和（达布和）来讲解黎曼可积的判据。
• Measure, Integration & Real Analysis（Sheldon Axler）——在从黎曼到测度与勒贝格的过渡中，常以达布/黎曼框架作对照说明。