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V2EX  ›  问与答

程序员的数学猜想?

  •  
  •   going · 2019-12-11 16:18:09 +08:00 · 1327 次点击
    这是一个创建于 1570 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    1 到 10 共 10 个数字,随便取 3 个组成一组并求和,在和唯一的情况下,前面数组肯定不唯一(即多个数组的和可能一样)。那么存不存在乘以某个目标数组之后确保元素之和唯一呢?如果存在,这个目标数组是多少?

    8 条回复    2019-12-13 14:11:00 +08:00
    imn1
        1
    imn1  
       2019-12-11 16:24:51 +08:00
    “乘以某个目标数组”是指矩阵乘法么?
    Lax
        2
    Lax  
       2019-12-11 17:13:39 +08:00
    先送楼主一个解 [0, 0, 0],虽然没看懂楼主的题目
    vsitebon
        3
    vsitebon  
       2019-12-11 17:31:13 +08:00
    条件 1:在 1 到 10 中多次任取其中 3 个作为数组 A1、A2、A3......AN ,其中 A1、A2、A3......AN 中各个数组的元素之和相同;
    问题 1:是否存在 1 个数组分别与上述所有数组相乘以后,得到的各个数组的元素之和唯一(此处应该是矩阵相乘)?
    问题 2:请问问题 1 中的数组如果存在,是什么(不考虑零矩阵)?如果问题 1 中的数组不存在,请证明。
    6167
        4
    6167  
       2019-12-11 17:39:52 +08:00
    初略推一下啊

    因为题目没说随便取 3 个数字是怎么取,所以优先考虑不重复的取法,顺便再把( 0,0,0 )去掉,求个非 0 解

    证:假设存在非 0 向量 a=( a1,a2,a3 ),
    使得当 1<=b1,b2,b3<=10 时,对任意(b1,b2,b3),都存在 c=a1*b1+a2*b2+a3*b3,
    且 c 唯一
    取( 3,4,5 )和( 6,8,10 )
    c = 3*a1+4*a2+5*a3
    2c = 6*a1+8*a2+10*a3
    因为 c!=2c
    所以向量 a 不存在
    6167
        5
    6167  
       2019-12-12 09:45:16 +08:00
    这题目可以这么理解,x+y+z=c 实际上就是一个三维坐标系中的平面,而再加上 xyz 都在( 1,10 )中,所以这是一个正方体中的所有向量。
    矩阵乘法( a1,a2,a3 )*(b1,b2,b3)在几何上的意义就是 b 向量在 a 向量上的投影,是一种降维后的向量模长,显然不存在这么一个 b 向量在所有的 a 向量上的投影都一样
    going
        6
    going  
    OP
       2019-12-12 16:46:29 +08:00
    感谢 @vsitebon

    “问题 1:是否存在 1 个数组分别与上述所有数组相乘以后,得到的各个数组的元素之和唯一(此处应该是矩阵相乘)?” , 是的,矩阵相乘
    “问题 2:请问问题 1 中的数组如果存在,是什么(不考虑零矩阵)?如果问题 1 中的数组不存在,请证明。”,不考虑零矩阵
    going
        7
    going  
    OP
       2019-12-12 16:50:19 +08:00
    感谢 @6167

    “初略推一下啊 ……因为 c!=2c,所以向量 a 不存在” ,这个因为所以,没怎么看明白
    6167
        8
    6167  
       2019-12-13 14:11:00 +08:00
    @going
    c 永远不等于 2c,所以倒推等式右边方程也不相等,自然推出不存在向量 a
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