凯利公式的前世今生

[datayes2015]

摘要 | 爱好博彩业和投资学的同学应该都对著名的 凯利公式不陌生。这是一个通过计算 edge 和 odds 来选择最佳投注比例的公式，目的是为了追求长期投资获利的最大化，根据赢输的概率及获利多少来决定投资（赌注）的大小。

一：先介绍一下凯利公式： https://uqer.io/community/share/583baaf8228e5b49ef4ac73f

凯利公式的简化公式： f=p-q/b f ：投注金额占总资金的比例 p ：获胜的概率； q=1-p b ：赔率 凯利公式出处原文对赔率的定义： b is the number of dollars returned for a one-dollar bet( including that one dollar). 既然是 bet ，那么 b 是指 bet 后如果赢了拿回的钱，如果输了为 0. 比如，投注 1 元掷骰子，赢了获得 10 元（“不？”包含投入的 1 元），输了为 0 ，则赔率为 10.（实际上就是 r_1=1 r_2=10 f=p/r_1-q/r_2 (这是标准公式)） (注：原文强调是包含投入的一元，但我感觉应该是不包含投入的一元，否则赔率应该为 9)

二：数学上的证明 可以参考这个博客： https://uqer.io/community/share/583baaf8228e5b49ef4ac73f 实际上就是 max(g) _

三：进行模拟实验： 取参数 p=0.6 r_1=1 r_2=1 计算得： f=0.2=0.6/1-0.4/1 初始资金 100 元 ， 进行 1000 次赌博，令 f 分别为从 0.1-0.3 （分度值为 100 ） 进行试验。记录 f 值和对应的最后资金大小 和 复合收益率








实验分析：修改赌博次数 修改 div 分度值 存在的问题： https://uqer.io/community/share/583baaf8228e5b49ef4ac73f
（ 1 ）：按道理来讲应该是在 f=0.2 的时候 (确实是平稳随机过程)
（ 2 ）：混沌效应很明显 （原因可能是由于随机性在其中，对于 f 的微小改变在赌博多次后结果会差别巨大）（所以考虑是不是应该利用不同的随机数（默认的随机数每次运行肯定是不变的）然后在某一特定的试验下进行多次求此系宗的平均值？）
（ 3 ）：对于复合增长率和实际收益，由于赌博次数很大，导致复合增长率差很小的情况下最终的收益会天壤之别。


经多次模拟还是不能在 0.2 处取到最大值。请教 V2EX 大神们原因可能出在哪些方面？

下面修改 p=0.8 a=2 b=-1 f_theroy=0.7



https://uqer.io/community/share/583baaf8228e5b49ef4ac73f

[bigtan]

凯利公式数学推导参考他的不如参考我的： https://estan.cn/2016/09/mathematical-derivation-of-kelly-formula.html