Two-sided Limit

定义 Definition

two-sided limit（双侧极限）：在微积分/数学分析中，指当自变量 \(x\) 从某点 \(a\) 的左侧与右侧同时逼近时，函数 \(f(x)\) 的值都趋近于同一个数 \(L\)，则称 \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) 存在，并称其为双侧极限。（若左右极限不相等，则双侧极限不存在。）

发音 Pronunciation

/ˌtuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/

例句 Examples

If the left-hand and right-hand limits match, the two-sided limit exists.
如果左极限与右极限相同，那么双侧极限就存在。

To prove the two-sided limit at \(x=a\), we often show both one-sided limits exist and are equal, then use the \(\varepsilon\)-\(\delta\) definition to confirm it rigorously.
要证明在 \(x=a\) 处的双侧极限，常先证明左右极限都存在且相等，再用 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义进行严格验证。

词源 Etymology

two-sided 由 two（两）+ sided（有……侧/面）构成，强调“从两边”；limit 源自拉丁语 *limes/limit-*，本义与“边界、界限”相关，数学中引申为“趋近的界限/极限”。合起来即“从左右两侧共同逼近所得的极限”。

相关词 Related Words

• Limit
• One-sided Limit
• Left-hand Limit
• Right-hand Limit
• Continuity
• Epsilon-Delta Definition
• Convergence
• Discontinuity

文学与名著中的用例 Literary Works

• Calculus（James Stewart，《微积分》）——在极限章节中系统使用“双侧极限/左右极限”的术语与证明框架。
• Calculus（Michael Spivak，《斯皮瓦克微积分》）——以更偏理论的方式讨论极限概念，频繁出现 two-sided limit 的思想与表述。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）——在实分析的极限与连续性部分以严格定义贯穿“双侧极限”的核心思想。