Legendre Polynomials

释义 Definition

勒让德多项式：一族在区间 [-1, 1] 上彼此正交的多项式函数，常记为 (P_n(x))。它们是勒让德微分方程的解，在物理与工程中常用于球对称问题、势场展开与傅里叶/正交级数展开等。（也存在更一般的“连带勒让德函数”用于球谐函数。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈʒɑːndr ˌpɒlɪˈnoʊmiəlz/

例句 Examples

Legendre polynomials are orthogonal on the interval ([-1, 1]).
勒让德多项式在区间 ([-1, 1]) 上是正交的。

In solving Laplace’s equation in spherical coordinates, the solution is often expanded using Legendre polynomials.
在球坐标中求解拉普拉斯方程时，解常常用勒让德多项式来展开。

词源 Etymology

“Legendre”来自法国数学家 Adrien‑Marie Legendre（阿德里安-玛丽·勒让德）的姓氏；“polynomials”意为“多项式”。该术语用于纪念他在椭圆积分、数论与特殊函数等领域的贡献，其中就包括与这类正交多项式相关的研究与整理。

相关词 Related Words

• Orthogonal
• Polynomial
• Legendre Equation
• Associated Legendre Functions
• Spherical Harmonics
• Sturm-Liouville
• Rodrigues Formula
• Generating Function
• Series Expansion

文学/经典著作中的出现 Literary Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）——在正交多项式与特殊函数章节系统收录 (P_n(x))。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）——在球坐标分离变量、拉普拉斯方程与球谐函数处频繁使用。
• Methods of Theoretical Physics（Morse & Feshbach）——作为解偏微分方程与正交展开的标准工具出现。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）——在特殊函数与级数展开背景中讨论相关内容。