Helmholtz Equation

Definition｜释义

Helmholtz 方程：一种常见的线性偏微分方程，形式通常写作 ∇²u + k²u = 0（或在有源情形为 ∇²u + k²u = f）。它描述许多时间谐振（单一频率）的波动或场在空间中的分布，常见于声学、光学、电磁学、量子力学等领域。

Pronunciation｜发音（IPA）

/ˈhɛlm.hoʊlts ɪˈkweɪʒən/

Examples｜例句

The Helmholtz equation appears in many wave problems.
亥姆霍兹方程出现在许多波动问题中。

By assuming a time-harmonic solution, Maxwell’s equations can be reduced to a Helmholtz equation for the electric field in a homogeneous medium.
通过假设时间谐振解，在均匀介质中可以把麦克斯韦方程组化简为关于电场的亥姆霍兹方程。

Etymology｜词源

“Helmholtz”来自德国物理学家 Hermann von Helmholtz（赫尔曼·冯·亥姆霍兹）的姓氏；“equation”意为“方程”。该方程常被视为从波动方程在单频（正弦稳态）条件下分离变量或引入复指数时间因子后得到的空间方程，因此在工程与物理中非常基础。

Related Words｜相关词

• Laplacian
• Wave Equation
• Poisson Equation
• Boundary Value Problem
• Separation Of Variables
• Green's Function
• Eigenfunction
• Wavenumber

Literary Works｜文学与著作

• The Theory of Sound（Lord Rayleigh）：讨论声波传播与相关的亥姆霍兹型方程。
• Classical Electrodynamics（J. D. Jackson）：在电磁辐射与散射问题中频繁使用亥姆霍兹方程形式。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken & Weber）：以亥姆霍兹方程为核心例子讲解分离变量与特殊函数。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）：在椭圆型方程与边值问题框架下提及与处理相关模型。