Euler Characteristic

定义 Definition

欧拉示性数（欧拉示性特征）：拓扑学中的一个基本不变量，用来刻画一个空间（常见如多面体表面、曲面、图形）的整体“形状特征”。对许多多面体有经典公式：
\[ \chi = V - E + F \] 其中 \(V\) 为顶点数、\(E\) 为棱数、\(F\) 为面数。（在更一般的拓扑空间中，\(\chi\) 也可通过同调群的“交替和”来定义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɔɪlər ˌkærɪktəˈrɪstɪk/

例句 Examples

The Euler characteristic of a cube is 2.
立方体的欧拉示性数是 2。

For a closed orientable surface of genus \(g\), the Euler characteristic equals \(2 - 2g\), which helps distinguish the sphere from the torus.
对于一个属为 \(g\) 的闭可定向曲面，欧拉示性数等于 \(2-2g\)，这有助于区分球面与环面。

词源 Etymology

“Euler”来自18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的姓氏；“characteristic”意为“特征、表征量”。该术语之所以得名，是因为欧拉研究多面体时发现了类似 \(V-E+F\) 的不变量关系，后来在拓扑学中被系统化并推广为更一般空间的基本不变量。

相关词 Related Words

• Topology
• Invariant
• Polyhedron
• Genus
• Homology
• Torus
• Sphere
• Graph

文学与名著用例 Literary Works

• James R. Munkres, Topology（《拓扑学》）：在曲面分类与多面体相关章节中讨论欧拉示性数及其应用。
• Allen Hatcher, Algebraic Topology（《代数拓扑》）：以同调的观点给出欧拉示性数的定义与性质。
• Jeffrey R. Weeks, The Shape of Space（《空间的形状》）：面向读者介绍曲面与三维空间直观时常用欧拉示性数作为核心工具之一。