Mixed-Integer Programming

Definition / 定义

混合整数规划（MIP）：一种数学优化方法，其中部分决策变量被限制为整数（常为0/1），而其余变量可以是连续实数。常用于排产、选址、物流、投资组合、网络设计等需要“离散选择 + 连续数量”同时存在的问题。（该领域还有相关分支如 MILP、MIQP 等。）

Pronunciation / 发音

/ˌmɪkst ˈɪn.tɪ.dʒər ˈproʊ.ɡræm.ɪŋ/

Examples / 例句

We solved the scheduling problem using mixed-integer programming.
我们用混合整数规划求解了这个排程问题。

Because some decisions are yes-or-no while others are continuous costs, the model is best formulated as a mixed-integer programming problem with capacity constraints.
由于有些决策是“是/否”选择，而另一些是连续成本，因此该模型最适合表述为带容量约束的混合整数规划问题。

Etymology / 词源

该术语由三部分构成：mixed（混合的） + integer（整数的） + programming（规划）。这里的 programming 源自“数学规划/优化”的传统用法，指建立并求解优化模型；mixed-integer 强调变量类型“既有整数变量也有连续变量”，从而区别于纯线性规划（LP）或纯整数规划（IP）。

Related Words / 相关词汇

• Integer Programming
• Linear Programming
• MILP
• Optimization
• Constraint
• Branch-and-Bound
• Cutting Plane
• Feasible

Literary Works / 文学作品

• Integer Programming（Laurence A. Wolsey）——系统介绍整数规划与混合整数规划的经典教材。
• Integer and Combinatorial Optimization（George L. Nemhauser, Laurence A. Wolsey）——组合优化与整数/混合整数模型的重要参考书。
• Model Building in Mathematical Programming（H. Paul Williams）——常用优化建模书籍，含大量混合整数规划建模示例。
• Introduction to Operations Research（Hillier & Lieberman）——运筹学教材中常以 MIP 讲解选址、排程等应用。